一项新的证明，让数学家们离理解「算术原子」素数的隐藏顺序更近了一步。

素数，即「只能被它们自己和 1 整除的数」，可以说是数学中最基本的组成部分。

素数的神秘之处在于：乍一看，它们似乎随意散布在数轴上，但实际上并不是随机的，而是完全确定的。仔细观察它们，就会发现各种奇怪的模式。

数学家们花了几个世纪的时间试图解开这些模式。如果能更好地理解素数是如何分布的，就能照亮数学宇宙的广阔天地。

虽然数学家们可以凭借一些公式大致了解素数的位置，却还是无法准确地找到它们，因此不得不采取更间接的方法。

公元前 300 年左右，欧几里得证明了素数的数量是无限的。此后，数学家们以欧几里得的定理为基础，为符合其他标准的素数证明了同样的说法。

举个简单的例子：是否有无数个不包含数字 7 的素数？

随着时间的推移，数学家们把这些标准变得越来越严格。通过证明仍然有无限多的素数满足这种越来越严格的限制，他们逐渐深入地了解素数的存在环境。但问题是，这类定理很难证明。

近日，来自牛津大学的 Ben Green 和哥伦比亚大学的 Mehtaab Sawhney 证明了一个特别具有挑战性的素数类型的定理 —— 是否存在无穷多个形式为 p² + 4q² 的素数，其中 p 和 q 也必须是素数？

                                   ^{Ben Green（左）和 Mehtaab Sawhney（右）。}

这两位数学家的证明在今年 10 月份以预印本的形式发布，不仅加深了数学家对素数的理解，还利用了数学中不同领域的一套工具，表明这些工具远比数学家们想象的要强大得多，并有可能成熟地应用于其他领域。

• 论文标题：Primes of the form p² + nq²
• 论文链接：https://arxiv.org/pdf/2410.04189

长期以来的尝试

数学家总是倾向于研究那些复杂到足以引起兴趣，但又简单到足以取得进展的素数族。例如，他们可能试图证明有无限多个相距 500 个单位的素数。或者，我们可以通过把其他数的平方相加，来建立无限多的素数。

最后一个约束特别有用，它引导了几个世纪的数学进步。1640 年，费马（Pierre de Fermat）猜想有无限多的素数可以通过两个整数的平方和相加来表示。例如，素数 13 可以写成 2² + 3²。欧拉（Leonhard Euler）后来证明了这一猜想。

但是，只要对问题稍作调整：比如坚持要求其中一个平方数是奇数，或者是完全平方数，问题就会变得更难。

Ben Green 表示：「对一个集合的约束越多，找到其中的素数就越难。」

在 19 世纪，对这类定理的研究促进了现代数论的发展。在 20 世纪，它激发了迄今为止最雄心勃勃的数学工程之一：朗兰兹计划。而在 21 世纪，对这类素数的研究不断产生新的技术和见解。

2018 年，罗格斯大学的 Friedlander 和 Henryk Iwaniec 提出了一个问题：是否存在无穷多个形式为 p² + 4q² 的素数，其中 p 和 q 也必须是素数？(例如 41 = 5² + 4 × 2².）

结果发现，处理这一约束条件特别具有挑战性。但如果数学家们能解决这个问题，他们就能成功地对素数进行新一层次的控制，而这正是他们一直希望做到的。

一次有价值的访问

Green 和 Sawhney 以前都没有玩过这种素数游戏，但他们都有研究素数产生的奇特规律的经验。

今年 7 月，两位数学家在爱丁堡的一次会议上相遇了。刚从研究生院毕业的 Sawhney 一直很崇拜 Green。

Green 20 年前证明的一个开创性结果是将他带入这个学科的原因之一。Sawhney 表示：「我当时就想天啊，你怎么能做到这一点？」

同时，格林也对这位年轻的数学家印象深刻：「Mehtaab 是一位杰出的数学家，他无所不知。」

两人决定合作。他们只需要找到合适的问题。经过一番讨论，他们最终确定了 Friedlander 和 Iwaniec 的猜想。

Green 邀请 Sawhney 到牛津大学访问一周。他们知道，要证明类似的猜想，数学家们通常要依靠一套特定的计数技术。但由于他们问题中的素数定义过于严格，二人无法找出让这套传统工具发挥作用的方法。

相反，他们希望用一种更迂回的方式来证明这一猜想 —— 走一步数学棋。但首先，他们必须证明他们是可以走这步棋的。

在 Sawhney 访问结束时，他和 Green 已经知道了如何做到这一点，从而证明了这个猜想。为此，他们与数学的另一个领域建立了惊人的联系。

尝试另一个集合

在 Green 和 Sawhney 看来，根本不可能通过计算两个素数的平方并将其相加来直接计算素数的数量。但是，如果他们稍微放松一下限制，结果会怎样？他们意识到他们可以解决一个稍微弱一些的版本 —— 其中被平方的数只需「大致粗略」是素数。

相比于素数，粗略素数（rough prime）更容易找到。假设你要统计 1 到 200 之间有多少个粗略素数。

首先，先看看最小的素数有哪些 ——2、3、5、7。然后列出所有无法被这些素数整除的数。这些数就是粗略素数。在这种情况下，你最终会得到 50 个粗略素数：其中 46 个真是素数，而另外四个不是素数（121、143、169 和 187）。由于粗略素数的分布的随机性远低于素数的分布，因此它们更容易处理。Sawhney 说：「粗略素数是我们远远更加了解的集合。」

                                                           ^{Tamar Ziegler 在素数方面的开创性工作使研究人员能够将一种名为 Gowers 范数的数学技术移植到一个新领域。}

Green 和 Sawhney 已经证明，通过对两个粗略素数求平方并将它们相加可以得到无穷多个素数。现在他们只需证明这个陈述暗示了他们实际想要解决的问题：存在无穷多个素数可以写成真实素数的平方和。

但这无法显而易见地推导出来。他们必须为该问题的每个版本都分析一个特殊的函数集 —— 称为 I 型与 II 型和（Type I and Type II sums），然后证明：不管使用何种约束条件，这些和都是等价的。只有这样，Green 和 Sawhney 才能知道他们可以将粗略素数代入他们的证明中，同时不丢失任何信息。

他们很快意识到：他们可以使用一个工具来证明这些和是等价的，并且他们各自之前都在自己的研究工作中使用过这个工具。这个工具被称为 Gowers 范数，是数学家 Timothy Gowers 几十年前开发的，原本是用于度量一个函数或数集的随机或结构化程度。从表面上看，Gowers 范数似乎属于完全不同的数学领域。Sawhney 说：「不了解它的人几乎无法看出这些东西存在关联。」

但使用数学家陶哲轩和 Tamar Ziegler 在 2018 年证明的里程碑结果，Green 和 Sawhney 发现了一种方法来建立 Gowers 范数与 I 型与 II 型和之间的联系。本质上，他们需要使用 Gowers 范数来证明他们的两组素数足够相似，即使用粗略素数构建的集合和使用实素数构建的集合。

事实证明，Sawhney 知道该怎么做。今年早些时候，为了解决一个与之无关的问题，他开发了一种使用 Gowers 范数比较集合的技术。他没想到的是，该技术足以证明这两个集合具有相同的 I 型和 II 型和。

技术在手，Green 和 Sawhney 证明了 Friedlander 和 Iwaniec 的猜想：可以写成 p² + 4q² 形式的素数有无穷多个。最后，他们还成功扩展了他们的结果，证明了：其它素数族的素数也有无穷多个。对于这类进展通常很罕见的问题而言，这着实是一个重大突破。

更重要的是，这项工作表明 Gowers 范数可以作为一个新领域的强大工具。Friedlander 说：「因为它是如此新颖，至少在数论的这个部分，它有可能做到很多其他的事情。」数学家们现在希望进一步扩大 Gowers 范数的范围 —— 尝试用它来解决数论中素数计数问题之外的其他问题。

「看到我以前想到的东西有了意想不到的新应用，我感到很有趣。」Ziegler 说，「这就像为人父母，当你放开孩子，他们长大后会做出神秘而意想不到的事情。」

^{原文链接：https://www.quantamagazine.org/mathematicians-uncover-a-new-way-to-count-prime-numbers-20241211/}